排列组合–插板法、插空法、捆绑法.doc(20211020224216)排列组合–插板法、插空法、捆绑法.doc(20211020224216)排列组合–插板法、插空法、捆绑法.doc(20211020224216)排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基此题型】有n个相同的元素，要求分到不相同的m组中，且每组最稀有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的缝隙，设想在这几个缝隙中插入六块“挡板”，则将这10个名额切割成七个部分，将第一、二、三、七个部分所包含的名额数分给第一、二、三七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不相同个m组，每组最稀有一个元素，则只要在n个元素的n-1个缝隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不相同方法。注意：这样对于很多的问题，是不能够直接利用插板法解题的。但，能够经过必然的转变，将其变成吻合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产买卖想不到的收效。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,能够把n个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必定满足三个条件：1）这n个元素必定互不相异2）所分成的每一组最少分得一个元素分成的组别相互相异举个很一般的例子来说明把10个相同的小球放入3个不相同的箱子,每个箱子最少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c92=36下面经过几道题目介绍下插板法的应用e二次插板法例8：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再增加3个节目,共有几种情况?-o-o-o-o-o-o-三个节目abc能够用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位因此一共是c71×c81×c91=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应地址的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、.），这样不相同的插入方法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚假“档板”分配元素的方法称之为插板法。
【基此题型例题】【例1】共有10完好相同的球分到7个班里，每个班最少要分到一个球，问有几种不相同分法？解析：我们能够将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个缝隙数学隔板法中的c92 36怎么算，现在我们用6个档板”插入这9个缝隙中，就“把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应地址的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），这样，借助于虚假“档板”就可以把10个球分到了7个班中。【基此题型的变形（一）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不相同的分法？解题思路：这种问题是赞同有些组中分到的元素为“0，”也就是组中能够为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组最少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。【例2】有8个相同的球放到三个不相同的盒子里，共有（A．35B．28C．21D．45）种不相同方法.解答：题目赞同盒子有空，则需要每个组增加（种）分法了，选项D为正确答案。1个，则球的总数为8+3×1=11，此题就有C（10数学隔板法中的c92 36怎么算，2）=45【基此题型的变形（二）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素最少某个确定值S（s＞1，且每组的s值能够不相同），问有多少种不相同的分法？解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能够少某个确定值s，各组分到的不是最少为一个了。
对于这样的题，我们就第一将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最最少的条件，此后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变成上面我们提到的变形（一）的问题了，我们也就可以用插板法来解决。【例3】15个相同的球放入编号为解析：编号1：最少1个，吻合要求。编号2：最少2个：需起初增加编号3：最少3个，需起初增加1、2、3的盒子内，盒内球数很多于编号数，有几种不相同的放法？1个球，则总数-12个，才能满足条件，后边增加一个，则总数-2则球总数15-1-2=12个放进3个盒子里因此C（11，2）=55（种）【例】10个学生中，男女生各有5人，选4人参加数学竞赛。1）最稀有一名女生的选法种数为_______________。2）A、B两人中最多只有一人参加的选法种数为___________解法1：10名中选4名代表的选法的种类：C104,消除4名参赛所有是男生：C54(消除法)C104—-C54=205解法2：选1女生时，选2个女生时，选3、4个女生时的选法，分别相加真题（2010年国考真题）某单位订阅了30份学习资料发放给3个部门，每个部门最少发放9份资料。
问一共有多少种不相同的发放方法？（）A.7B.9C.10D.12解析：每个部门先放8个，后边就最少放一个，三个部门则要先放8×3=24份，还剩下30-24=6份来放入这三个部门，且每个部门最少发放1份，则C（5,2）=10插空法插空法就是对于解决某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的缝隙或两端地址。首要特点就是不相邻。下面举例说明。一.数字问题【例】把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不相同排法有多少种？解析：此题直接解答较为麻烦，由于可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，尔后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不相同的五位数有.节目单问题【例】在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对次序不变，再增加进去三个节目，则所有不相同的增加方法共有多少种？解析：-o-o-o-o-o-o-六个节目算上前后共有七个空位，那么加上的第一个节目则有种方法；此时有七个节目，再用第二个节目去插八个空位有种方法；此时有八个节目，用最后一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得，所有不相同的增加方法为：。
三.关灯问题【例】一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，能够把其中的三盏灯关掉，但不能够同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不相同的关灯方法有多少种？解析：若是直接解答须分类谈论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，尔后用不亮的三盏灯去插七个空位（用不亮的3盏灯去插剩下亮的6盏灯空位，就有7个空位）共有种方法，因此所有不相同的关灯方法为种。四.停车问题【例】停车场划出一排12个停车地址，今有8辆车需要停放，要求空地址连在一起，不相同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有种方法，要求空地址连在一起（剩下4个空位在一起，来插入8辆车，有9个空位可以插），将空地址插入其中有种方法。因此共有种方法。五.座位问题【例】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？解法：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有种。捆绑法解答：依照题目要求，则其中一个盒子必定得放2个，其他每个盒子放1个球，因此从6个球中挑出2个球看作一个整体，则有C2，这个整体和剩下4个球放入5个盒子里，则有A5。方法是C2A56565排列组合中的解题方法之插板法一、基础理论：插板是一个无形的东西即板子，它不能够代表一个元素，它差异于插空法。
插板法是用于解决“相同元素”分组问题。判断插板法的题目主要看题干中的两个词语：①相同元素②最少为1，若是有这样两个词语一般此题就可以直接插板进行解题。引例说明：春节前单位慰问困难职工，将10份相同的慰问品分给6名职工，每名职工最少要分得1份慰问品，分配方法共有：A.84种B.126种C.210种D.252种【解析】此题第一眼给人的感觉是能用列举法进行分类解题，但是细一思虑分类的情况太多了，不易计算，由于想用插板法解题一般是分两类或三类。而插板法就可以使这种为题瓜熟蒂落。利用无形的板子把其切割开来。【解析】“10份慰问品相同且每人最少得1份”，满足插板法的两个前提①相同元素②最少为1，故可直接使用插板法。将10份慰问品依次排成一条直线，我们用插板的形式把慰问品分给6名职工，中间形成9个空，插上第1个板子，则第一个板子从前的分给第一名职工，在后边又插了一个板子，表示第1个板子和第2个板子之间的分给第二名职工，依次类推，由于要分给6个人，因此要插5个板子，第5个板子之后的分给第六名职工，因此只要板子固定了，那么每名职工分几份慰问品就固定了。因此10分慰问品中间形成了9个空;分给6个人，插入5个板;共有=126种分配方法。
注：估计有的同学会问，为什么第一个慰问品从前的地址和最后一个慰问品此后的地址不能够放板子。其实原因在于“每名职工最少分1份慰问品”，若是在第一个慰问品从前的地址放板子那么第一名职工就一份分不到了，若是在最后一个慰问品此后的地址放板子那么最后一名职工就一份分不到了。二、真题举例：例1、假设x、y、z是三个非零自然数，且有x+y+z=36，则共有多少组满足条件的解?A.700B.665C.630D.595【解析】此题能够看做是36块糖排成一排，即元素相同;由于x、y、z是非零自然数，即最少为1，问题：x+y+z=36，顺便看作3个人来分这36块糖。满足插板法应用条件。【解析】依照题意，36块糖内部形成35个空位，分给三个人，需要插两个板子，故有=595种，而一种分法对应着一组解，如x=1，y=1，z=34，就是一组解。共有595组解。因此，选D。例2、将10本没有区其他图书分到编号为1、2、3的图书馆，要求每个图书馆分得图书数量不小于其编号数，问共有多少种不相同的分法?()A.12B.15C.30D.45【解析】依照题意，“10本没有区其他图书”即相同元素，“要求每个图书馆分得图书数量不小于其编号数“即1号图书馆最少分1本，2号图书馆最少分两本，3号图书馆最少分3本，解析完题意此后发现忧如不满足插板法的前提条件最少为1，近似的这种题目我们只要要合适变形即可利用插板法解题。
【解析】1号图书馆最少分1本，已经满足最少为1，不用变形。而2号图书馆最少分两本，因此可从10本中拿出一本先给2号图书馆。而3号图书馆最少分3本，能够从10本中拿出两本书给3号图书馆，所以在给出一本和两本，那么还剩下7本，现在1号，2号，3号图书馆最少在发放一本书就可以满足了，那么此时就可以用插板法解题。因此答案是=15小结：题目中一般有相同元素，最少为什么，此题都可用插板法解题，因此大家要不断熟悉插板法的应用。三、插板法和列举法的比较例3、10个名额分配到八个班，每班最少一个名额，问有多少种不相同的分配方法?A.34种B.36种C.40种D.42种【答案】B【列举法】先每个班级分一个名额，尔后剩下两个名额，①若是两个名额分到一个班级里面则有,②若是两个名额分到两个班级里面则有种分法，则共有8+28=36.【插板法】10个名额9个空，插入7个板，共有种分配方法。例4、某单位订阅了30份学习资料发放给3个部门，每个部门最少发放9份资料。问一共有多少种不同的发放方法?()A.7B.9C.10D.12【答案】C【列举法】每个部门的资料数分布情况不相同的分法种数(9，9，12)3种(9，10，11)6种(10，10，10)1种因此共有3+6+1=10种。【插板法】3个部门每个部门先发8份，让其满足插板法，20-8×3=6，计算：。小结：经过例3和例4来看，列举法能够叫做排列组合的通法，但是遇到个其他题目必要时也要用插板法。
