到几定点距离最短的点黄南辉石 狮 鹏山 工 贸 学校5 62 7 0 0在实际生 活 中 ， 加油站的位置设置能使各车站到加油站的路途最短 ； 水塔建在何处 ， 能使到几个村子的管道最省； 学校建在什么地方 ， 村里学生上学路途最近等等 ， 都是探讨到几个定点距离之和最短的点的位置问题 ， 应用相当广泛 。 众所周知 ，两点之间 ， 线段最短两个定点距 离之和最短的点是连接这 两点的线段上的任意点 。 但rl大干或等于3时 ，Nn个定点距离之和最短的点位于哪里题就比较复杂 了。 对此间的学习与研究做一点到四点的距离最短图， 仅就点点的收获 ， 提出与大家共同学 习与探讨 。(n上时 ， 求到这n 个定点距离之和最短的点 。易知： 若n 为奇数 ， 则所要求的点就是位置位于正 中间的那个点 ， 如7个点时的点是这 7 个点中位于第4 个位置上 (从左往右或从右往左数都偶数时 ， 所要求的点位于连结正 中间两点的线段上二(n线上时 ， 求到n 个定点距离之和最短的点 。下面假设这n(n共线 ， 求到这n 个点距离之和最短的点的位置13时 ， 由于这三 个点不共线所以这三个点可构成题转化为求到三 角形各顶点距离之和最短的点的位置本人 在这 里 再 做个详 细解 答考如 图 1A B CO A + 0 B + 0 C 最， J、。
，， 所以 当n-2时， 到一， 问， 笔者进行了较长时一、 当n≥ 3) 个定点在同一直线， 所要求一样) 的点 。 当n 为， 与13=2 时情形类似 。≥ 3) 个定点不在同、 当n一直≥ 3) 个点中任何三 点不。． 当n-，一个三 角形，于是 问。 这个问题 已有前人作 了叙述做一点到四点的距离最短图，一， 以供 参。， 在△， 找一点 0， 使C 为焦点的椭 圆上则以B图所示 。 设P T 为椭圆与圆的公切线 ， 则根据椭圆的光学原理的内侧等于反射角 ， 所以有么 B OT因为么 A OT么 A O C，么 B O A。 要使O B + O C 最小，、 C为焦点的椭圆应 与圆A 外切 ， 如， 光线若沿B O射入椭圆， 它将沿着O C 反射出来 。 而入射角=么 C OP， 又-么 A OP-90。， 所以么 A O B么 B O C=， 同理么 A O C=， 故么A O BA B C 各顶点距离之和最短的点0 是三 角形内到三个顶点所成的 角相等的点 。知 ， 这时么 A B C 的各内角都小于 120下面形三 个顶点所成的角相等的点的位置具体地找出来 。 实际上别以三 边为边作出三 个正 三 角形△AA C S、A B C T–么 B O C-120。
。 所以到么由此可。。， 我们利用作 图的方法把到三 角， 只要在A A B C 形外分A B P、， 如图2所示， 连接A T点 ， 则这点就、B S是所要求 的点 0、C P， 则它们会相交于一。-41到AA B C 各顶点距离之和最短的点 。图3故 当三 角形 中有时 ， 这个角的顶点就是到三 角形三 个顶 点距 离之 和 最小的点 。2所以这 四点构成个四边形化为求到四边形各顶点距离之和最短的点的位置如 图4所示组对角顶点A的点 ， 而根据两点之间线段最短 ， 到每组对角顶点距离之和最短的点分别位于连结这两个对 角顶点的线段上 ， 所以到四边形各顶点距离之和最短的点是两条对 角线的交点一个 角大 于 或等于120。． 当n=4 时 ， 由于任何三 点不共线 ，一， 于是问题转。 当所构成的四边形为凸四边形时 ，， 该问题可转化为求到四边形两、 D与B、C 的距离之和最短。CDB图4若 当所构成 的 四 边形 为 凹 四 边形 时如 图5所示 ， 这时到A之 和最小的点的位置显 然是点 C，、 B、 C、 D 四点距离。D图5， 求到 n 个点距离之， 这个点位于哪里? 希3．当n≥ 5 时和最短的点的位置望大家共同来研究与探讨 。
